Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над н

Примеры решения задач Задача 1. Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень? Решение Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось ; с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости vy=0, а : . (1) Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось: (2) и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения: , (3) . (4) Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим: . (5) Из (5) находим v0y: . Далее из (1) находим высоту подъема: . Ответ: h=2.99 м. Задача 2. Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t3. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения. Решение Поскольку , то . (1) Далее, из получим . (2) Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v0=5 м/с, а0=0 м/с2. Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1): vt=v5=5+2.4.52=65 м/с. Окончательно Ответ: а0=0 м/с2; v0=5 м/с; аср.=12 м/с2. Задача 3. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: =3–t+0.2t3. Решение По формулам и находим угловую скорость и угловое ускорение точки: ω= –1+0.2.3t2 , ε=0.6.2t. Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: aτ=R. ε=R.(0.6.2t)=1.2Rt=1.2.0.2.10=24 м/с2. Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость v=R.ω=R.(–1+0.2.3t2)=R.(0.6t2–1). Подставим численные значения: v=0.2.(0.6.102–1)=11.8 м/с; Теперь находим полное ускорение: . Ответ: aτ=24 м/с2; аn=696 м/с2; а=697 м/с2. Задача 4. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км/с. На какую высоту она поднимется? Решение На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна: , где m – масса ракеты, МЗ – масса Земли, r=RЗемли+h – расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на dr равна: dA=Fdr; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием: . По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: . Тогда получим уравнение: . После сокращения на m и подстановки r=RЗемли+h получим выражение для высоты: . Здесь учтено, что - ускорение свободного падения на поверхности Земли. Ответ: h=1.59 км. Задача 5. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массой 0.1 кг и 0.11 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы? Найти силы натяжения шнура по обе стороны блока. Масса блока 0.4 кг. Решение Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков (рис.1): m1а= T1–m1g; (1) –m2а= T2–m2g; (2) Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым. За положительное направление вращения блока примем вращение по часовой стрелке; запишем для него закон динамики вращательного движения: Iε=M2–M1, (3) где I – момент инерции сплошного диска (или цилиндра): ; (4) ε – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет): , (5) здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения: M1=R.T1, (6) M2=R.T2 (7) Решая систему уравнений (1-7), получим: , откуда находим ускорение: , а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура: T1=m1(a+g)=1.0 H; T2=m2(g–a)=1.05 Н. Ответ: а=0.24 м/с2; T1= 1.0 H; T2=1.05 Н. Задача 6. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе. Решение Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара: Q=E–E0. (1) Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений: . (2) Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением: v=ωR, (3) где R – радиус шара, I – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс: . (4) Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара: . (5) Аналогично, начальная кинетическая энергия шара: . (6) Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту: Ответ: Q=2.52 мДж. Задача 7. Однородный медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется? Решение Найдем зависимость силы натяжения F стержня от координаты x. На расстоянии x от оси вращения выделим фрагмент стержня бесконечно малой длины dx и массой dm=ρSdx. На него действуют силы: сила натяжения стержня F – вверх, сила натяжения стержня F+dF (со стороны нижней части стержня) – вниз и сила тяжести gdm – тоже вниз (рис.2). Запишем второй закон Ньютона для массы dm: adm= F–(F+dF)– gdm, где а=ω2x – центростремительное ускорение. Отсюда dF=–dm(g+ ω2x)= –ρSdx(g+ ω2x), или: . Зависимость F(x) теперь можно найти, интегрируя предыдущее выражение или найдя первообразную от выражения () и учтя очевидное граничное условие: F(l)=0: . Максимальное натяжение будет при x=0: , а соответствующее механическое напряжение приравняем к пределу прочности: . Решаем полученное уравнение относительно угловой скорости и затем находим частоту: . Ответ: ν=38 Гц. Задача 8. Найти частоту колебаний груза массой m=0.2 кг, подвешенного на пружине и помещенного в масло, если коэффициент сопротивления в масле r=0.5 кг/с, а коэффициент жесткости пружины k=50 Н/м . Решение Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота: , где – круговая частота собственных незатухающих колебаний; – коэффициент затухания. Тогда частота затухающих колебаний . Ответ: ν.=2.51 Гц. Задача 9. Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости 70 фон, крику – 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученного в результате сложения крика и шума улицы? Считать частоту равной 1 кГц. Решение Для частоты 1000 Гц уровень громкости по определению совпадает с уровнем интенсивности, выраженному в децибелах, тогда . Выразим интенсивность звука: , тогда получим для шума и для крика соответственно интенсивности звука: ; . Интенсивность результирующего звука можно найти сложением интенсивностей двух звуков, поскольку интенсивность – энергетическая характеристика звуковой волны и характеризует среднюю плотность потока энергии, переносимой волной: I=I1+I2=I0,107(1+10). Теперь можно найти уровень громкости по определению: . Ответ: Е=80.4 фон. Задача 10. Импульс релятивистской частицы массой m равен mС. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет энергия частицы: 1) кине­тическая; 2) полная? Решение Воспользуемся формулой взаимосвязи импульса и полной энергии: . Тогда получим для двух состояний частицы: , , откуда . Кинетическая энергия равна разности полной и энергии покоя: . Тогда , . И, наконец: . Ответ: ; . Задача 11. В трубе с внутренним диаметром 3 см течет вода. Оп­ределить максимальный массовый расход воды при ламинарном течении. Вязкость воды 0.001 Па.с. Ламинарность движения жидкости сохраняется при числе Рейнольдса. Решение Массовый расход жидкости – это, аналогично объемному расходу, масса жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени: . Так как m=ρV, то . (1) Считаем течение ламинарным вплоть до критического числа Рейнольдса, тогда , (2) где кинематическая вязкость связана с динамической: , (3) а средняя скорость движения жидкости v позволит найти путь, пройденный частицами воды за время dt: dl=vdt и объем протекшей через поперечное сечение S за это время жидкости: dV=Sdl=Svdt. (4) Решая систему уравнений (1-4), получим: , далее . Наконец, выразим площадь сечения трубы через диаметр: , тогда . Ответ: Qm=0.071 кг/с.

Похожие: