Примеры решения задач Задача 1. Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень? Р ![]() Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось ![]() с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости vy=0, а ![]() ![]() Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении ![]() ![]() и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения: ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось ![]() ![]() ![]() Из (5) находим v0y: ![]() Далее из (1) находим высоту подъема: ![]() Ответ: h=2.99 м. Задача 2. Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t3. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения. Р ![]() Поскольку ![]() ![]() Далее, из ![]() ![]() Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v0=5 м/с, а0=0 м/с2. Среднее ускорение находим по определению ![]() ![]() ![]() Ответ: а0=0 м/с2; v0=5 м/с; аср.=12 м/с2. Задача 3. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: =3–t+0.2t3. Р ![]() По формулам ![]() ![]() Нормальное ускорение найдем из формулы ![]() ![]() Теперь находим полное ускорение: ![]() Ответ: aτ=24 м/с2; аn=696 м/с2; а=697 м/с2. Задача 4. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км/с. На какую высоту она поднимется? Р ![]() На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна: ![]() где m – масса ракеты, МЗ – масса Земли, r=RЗемли+h – расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на dr равна: dA=Fdr; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием: ![]() По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: ![]() ![]() После сокращения на m и подстановки r=RЗемли+h получим выражение для высоты: ![]() Здесь учтено, что ![]() Ответ: h=1.59 км. Задача 5. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массой 0.1 кг и 0.11 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы? Найти силы натяжения шнура по обе стороны блока. Масса блока 0.4 кг. Решение ![]() Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков (рис.1): m1а= T1–m1g; (1) –m2а= T2–m2g; (2) Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым. З ![]() Iε=M2–M1, (3) где I – момент инерции сплошного диска (или цилиндра): ![]() ε – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет): ![]() здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения: M1=R.T1, (6) M2=R.T2 (7) Решая систему уравнений (1-7), получим: ![]() откуда находим ускорение: ![]() а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура: T1=m1(a+g)=1.0 H; T2=m2(g–a)=1.05 Н. Ответ: а=0.24 м/с2; T1= 1.0 H; T2=1.05 Н. Задача 6. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе. Р ![]() Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара: Q=E–E0. (1) Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений: ![]() Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением: v=ωR, (3) где R – радиус шара, I – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс: ![]() Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара: ![]() Аналогично, начальная кинетическая энергия шара: ![]() Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту: ![]() Ответ: Q=2.52 мДж. Задача 7. Однородный медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется? Р ![]() Найдем зависимость силы натяжения F стержня от координаты x. На расстоянии x от оси вращения выделим фрагмент стержня бесконечно малой длины dx и массой dm=ρSdx. Н ![]() adm= F–(F+dF)– gdm, где а=ω2x – центростремительное ускорение. Отсюда dF=–dm(g+ ω2x)= –ρSdx(g+ ω2x), или: ![]() Зависимость F(x) теперь можно найти, интегрируя предыдущее выражение или найдя первообразную от выражения ( ![]() ![]() Максимальное натяжение будет при x=0: ![]() а соответствующее механическое напряжение приравняем к пределу прочности: ![]() Решаем полученное уравнение относительно угловой скорости и затем находим частоту: ![]() Ответ: ν=38 Гц. Задача 8. Найти частоту колебаний груза массой m=0.2 кг, подвешенного на пружине и помещенного в масло, если коэффициент сопротивления в масле r=0.5 кг/с, а коэффициент жесткости пружины k=50 Н/м . Р ![]() Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота: ![]() где ![]() ![]() ![]() Ответ: ν.=2.51 Гц. Задача 9. Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости 70 фон, крику – 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученного в результате сложения крика и шума улицы? Считать частоту равной 1 кГц. Р ![]() Для частоты 1000 Гц уровень громкости по определению совпадает с уровнем интенсивности, выраженному в децибелах, тогда ![]() Выразим интенсивность звука: ![]() ![]() ![]() I=I1+I2=I0,107(1+10). Теперь можно найти уровень громкости по определению: ![]() Ответ: Е=80.4 фон. Задача 10. Импульс релятивистской частицы массой m равен mС. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет энергия частицы: 1) кинетическая; 2) полная? Р ![]() Воспользуемся формулой взаимосвязи импульса и полной энергии: ![]() ![]() ![]() откуда ![]() ![]() ![]() ![]() И, наконец: ![]() Ответ: ![]() ![]() Задача 11. В трубе с внутренним диаметром 3 см течет вода. Определить максимальный массовый расход воды при ламинарном течении. Вязкость воды 0.001 Па.с. Ламинарность движения жидкости сохраняется при числе Рейнольдса. Р ![]() Массовый расход жидкости – это, аналогично объемному расходу, масса жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени: ![]() Так как m=ρV, то ![]() Считаем течение ламинарным вплоть до критического числа Рейнольдса, тогда ![]() где кинематическая вязкость связана с динамической: ![]() а средняя скорость движения жидкости v позволит найти путь, пройденный частицами воды за время dt: dl=vdt и объем протекшей через поперечное сечение S за это время жидкости: dV=Sdl=Svdt. (4) Решая систему уравнений (1-4), получим: ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: Qm=0.071 кг/с. |